Matematikte bölünebilme kuralları genellikle ilköğretimin ilk yıllarından itibaren öğretilir ve aslında üzerine fazla bir ekleme yapılmadan yıllar içinde aynı biçimde devam eder. Ancak okullarda öğretilen kurallar genellikle 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ve bu sayıların birleşimi ile oluşturulan sayılar ile alakalıdır.
Yani 36 sayısının bölünebilme kuralı hem 4 hem de 9 sayısı kontrol edilerek bulunur. Yukarıda listelediğimiz sayılar arasında fark ettiğiniz gibi 7, 13 gibi asal sayılar yoktur. Buna neden olarak da, bu sayıların bölünebilme kurallarının çok zor oldukları söylemi vardır.
Hesap makinesi sayesinde belirli bir sayının hangi sayılarla bölünebileceğini tespit etmek için artık kurallar ezberlemenize gerek kalmamış olabilir. Ancak bölünebilme kurallarının öğretilmesinin tek nedeni sayıların bölünüp bölünemediğini anlamamız değildir. Bu kurallar matematiğin ilginç özellikleri ile ilgili bazı ipuçları da barındırır.
Aslında en kafa karıştırıcı olan bölünebilme kuralları ise asal sayılar ile ilgili olanlar yani atladığımız kurallardır. Bu yazıda öncelikle ile 7 bölünebilme kuralını ele alalım. Sonrasında da elde ettiğimiz bir kuralı diğer asal sayılar için nasıl genelleştirilebileceğimizi görelim.
7 İle Bölünebilme Kuralı
Kural aslında basittir. Verilen sayıdaki son basamağı silin ve sonra bu silinen basamağın iki katını alın ve kalan sayıdan çıkarın. Sonuç 7’ye bölünebiliyorsa, orijinal sayı da 7’ye tam bölünür anlamına gelecektir. Ancak sonuç çok büyükse bu işlem tekrarlanmalıdır.
Bu kuralın nasıl çalıştığını görmek için bir örnek deneyelim. 876 547 sayısını 7’ye bölünebilirlik için test etmek istediğimizi varsayalım. Önce birler basamağı olan 7’yi silin ve kalan sayıdan 7’nin iki katını yani 14’ü çıkarın. Bu durumda 87654 – 14 = 87 640 elde ettiniz.
Bu sayı hala çok büyük. Bu durumda işleme aynı biçimde devam ediyoruz. Şimdi son sayı olan 0’ı silip iki katını sayıdan çıkarınca elimizde 8764 kaldı. Büyük derseniz bir kere daha yapalım. Son basamaktaki 4’ü silin, 4’ün iki katı olan 8 sayısını bu sayıdan çıkartın. Yani 876 -8=868.
Örnek olması için son bir defa daha yapalım. 8 sayısını sildik. Ardından iki katını 86’dan çıkarttık. Şimdi elimizde 70 sayısı var. Sonuçta bu sayının 7 ile bölünebildiğini biliyoruz. Bu durumda başlangıçtaki sayımız da 7 ile bölünebilmektedir.
Kural Neden İşe Yarıyor?
Yapacağınız alıştırmalar ile bu yöntemi hızlıca uygulayabilir hale gelmeniz mümkün olacaktır. Ancak bu yöntemin neden işe yaradığını merak ediyor olmanız da olasıdır. Bunu anlayabilmek için şimdi aşağıdaki tabloya göz atalım. Tablo son basamağın 1’den 9’a kadar olması durumunda aslında hangi çıkarma işlemini yaptığınızı göstermektedir.
| Sayının Son Basamağı | Çıkartılan Sayı |
| 1 | 20 + 1= 21= 3.7 |
| 2 | 40 + 2= 42= 6.7 |
| 3 | 60 + 3= 63= 9.7 |
| 4 | 80 + 4= 84= 12.7 |
| 5 | 100 + 5= 105= 15.7 |
| 6 | 120 + 6= 126= 18.7 |
| 7 | 140 + 7= 147= 21.7 |
| 8 | 160 + 8= 168= 24.7 |
| 9 | 180 + 9= 189= 27.7 |
Gördüğünüz gibi kuralda aslında yaptığımız ilk sayının içinden mevcut 7’nin katlarını ayıklamak oldu. Sonrasında da geriye kalan sayının 7’nin bir katı olup olmadığına baktık. Mantığını eğer anladınızsa şimdi bu kuralı gelin başka bir asal sayı olan 13 ile bölünebilme kuralı için deneyelim. Ancak 13 ile bölünebilme kuralında ise son basamağın iki katını çıkarmak yerine, her seferinde silinen basamağın dokuz katını çıkartacağız. Devamı tamamen aynı biçimde gerçekleşecek.
13 İle Bölünebilme Kuralı
5616 sayısının için 13 ile bölünüp bölünemediğini kontrol edelim. Her zamanki gibi birler basamağındaki 6’yı silin. Ardından bunu 9 ile çarpıp bulduğunuz 54 sayısını 561’den çıkartın. 561 – 54 = 507. Şimdi bir kere daha yapalım. Son basamaktaki 7’yi silin. Ardından 9 katı olan 63 sayısını 50’den çıkartın. 50 – 63 = –13. -13’ün 13’e bölünebileceğini ve bu nedenle orijinal sayının 13’e bölünebileceğini görüyoruz. ( Bu arada hatırlatalım. 13 ile bölmede başka kurallar da mevcuttur. Ancak bu aktardığımız yöntem genellemeye daha uygundur.)
| Sayının Son Basamağı | Çıkartılan Sayı |
| 1 | 90 + 1= 91= 7.13 |
| 2 | 180 + 2= 182= 14.13 |
| 3 | 270 + 3= 273= 21.13 |
| 4 | 360 + 4= 364= 28.13 |
| 5 | 450 + 5= 455= 35.13 |
| 6 | 540 + 6= 546= 42.13 |
| 7 | 630 + 7= 637= 49.13 |
| 8 | 720+8=728=56.13 |
| 9 | 810+9=819=63.13 |
17 İle Bölünebilme Kuralı
Mantığı anladığınızı kabul ederek bu kuralı fazla uzatmayacağız. Ancak bu kuralda da yine ufak bir fark var. Birler basamağını sildikten sonra, sildiğiniz sayının bu sefer 5 katını almanız ve kalan sayıdan çıkarmanız gerekiyor. Süreç yukarıda açıkladığımızın aynı biçiminde gerçekleşecektir.
Aslında bu üç bölünebilme kuralı daha büyük asal sayılarında bölünebilirlik kurallarını keşfetmenize olanak sağlayabilir. Aşağıdaki grafik, çeşitli asal sayılar için silinen basamakları kaç ile çarpmanız gerektiğini size göstermektedir.
Asal Sayılar İçin Bölünebilme Kurallarının Genellemesi
| 7 İle Bölünebilme | 2 ile çarpılmalı |
| 11 İle Bölünebilme | 1 ile çarpılmalı |
| 13 İle Bölünebilme | 9 ile çarpılmalı |
| 17 İle Bölünebilme | 5 ile çarpılmalı |
| 19 İle Bölünebilme | 17 ile çarpılmalı |
| 23 İle Bölünebilme | 16 ile çarpılmalı |
| 29 İle Bölünebilme | 26 ile çarpılmalı |
| 31 İle Bölünebilme | 3 ile çarpılmalı |
| 37 İle Bölünebilme | 11 ile çarpılmalı |
| 41 İle Bölünebilme | 4 ile çarpılmalı |
Son olarak bu çarpacağımız sayıların neye göre belirlendiğini de merak ediyor olabilirsiniz. Örnek üzerinden açıklayalım. 13 ile bölünebilme kuralında çarpanımız 9 idi. Bunun nedeni 13’ün katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayının 91 olmasıydı. Sonucunda bu sayının onlar basamağı da 9’du. 17 ile bölünebilme kuralında da çarpanımız 5 oldu. Çünkü 17’nin katları arasında sonu 1 ile biten ilk sayı 51 ve bu sayının da onlar basamağı 5’tir.
Mantığı anladığınızı düşünüyoruz. Arzu ederseniz diğer sayıları da siz kontrol edebilirsiniz. Unutmayın bu kurallar sadece genel sınavlarda soru çıktığı için değil, öğrencilerin sayıları dünyasını keşfetmeye adım atmasını sağlamak için öğretilmelidir. Sonuçta mantığını anlayınca her şey daha kolay. Kim demiş bölünebilme kuralları zor diye :)
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Alfred S. Posamentier; The Mathematics of Everyday Life; Prometheus – 2018
- What is the Divisibility Rule of 13?; Bağlantı: https://www.cuemath.com
- Divisibility Rule of 7; Bağlantı: https://byjus.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
ben bunu bulmuştum keşke sunsaydım