Hayat bu kadar karmaşıkken, bazı şeylerin apaçık ortada olması insana iyi gelir. Örneğin gökyüzü mavidir. Alfabedeki “a” harfi “b” harfinden önce gelir. Ayrıca 1 artı 1 de her zaman 2 yapar. Peki ama biri gelip “Neden 1 + 1 = 2?” diye sorarsa ne cevap verirsiniz?
Çoğumuz böyle bir soru karşısında şaşkına döneriz çünkü 1 + 1 = 2 bizim için bir gerçektir (ki öyledir). Bu nedenle de bu ifadenin arkasındaki mantığı ya da bu gerçeğin nasıl ortaya çıktığını sorgulamayız. Muhtemelen “çünkü öyle” der geçersiniz. Ya da bir elmanın yanına bir elma daha koyduğunuzda elinizde iki elma olur dersiniz.
Ama 20. yüzyılın başında bazı matematikçiler için bu kadar basit değildi. Onlar “1 + 1 = 2” ifadesinin sadece sezgisel ya da pratik değil, aynı zamanda mantıksal olarak da ispatlanabilir olması gerektiğini düşündüler. Ve bu düşünceyle, modern matematiğin en çetin projelerinden biri başladı.
Basit gibi görünen 1 + 1 = 2 işleminin bile formal ispatı tam 360 sayfa tutar. Bu ispat, matematik tarihinde bir dönüm noktası sayılan ve Alfred North Whitehead ile Bertrand Russell tarafından kaleme alınan “Principia Mathematica” adlı eserde yer alır. Principia Mathematica, aslında doğrudan “1 artı 1 neden 2 eder?” sorusunu yanıtlamak için yazılmadı. Russell ve Whitehead’in amacı çok daha derindi.
Principia Mathematica Neden Yazıldı?
Matematiğin her alanı belli aksiyomlara ve ispatlara dayanır. Bu aksiyomlar ve ispatlar da bir zincir gibi daha temel kabullere bağlıdır. 1879 yılında Alman matematikçi ve mantıkçı Gottlob Frege, bu alanda yeni bir çağ başlattı. Frege’nin yaptığı şey, saf mantıktan yola çıkarak matematiğin tamamı için simgesel ve sistematik bir gösterim dili geliştirmekti.
Russell’ın matematik anlayışı, büyük ölçüde Gottlob Frege’nin geliştirdiği kümeler kuramı ve mantıkçılıktan etkilenmişti. Frege ise bu fikirleri, Georg Cantor’un kümeler üzerine yaptığı çığır açıcı çalışmaların ardından geliştirmişti.
Ancak Russell, Frege’nin kuramındaki temel bir çelişkiyi fark etti. Bu durum, daha sonra “Russell Paradoksu” olarak anılacaktı. Paradoks, kendisini içermeyen kümeleri içeren bir kümenin kendisini içerip içermemesi üzerinden kurulur. Yani bir küme, yalnızca kendisini içermeyen kümeleri içeriyorsa, kendisini içerip içermediği sorusu çelişkiye yol açar. Bu durum Frege’nin kuramının tutarsız olabileceğini ortaya koyuyordu.
Russell’ın en büyük eseri, 1910, 1912 ve 1913 yıllarında üç cilt olarak yayımlanan anıtsal Principia Mathematica oldu. İlk cilt Alfred North Whitehead ile birlikte yazıldı. Ancak sonraki iki cildin büyük bölümü neredeyse tamamen Russell tarafından kaleme alındı.
Bu dev çalışmanın hedefi oldukça iddialıydı: Matematiğin tamamını, yalnızca mantıksal aksiyomlardan türetmek. Üstelik bunu, Frege’nin kümeler kuramında ortaya çıkan paradokslar ve çelişkilerden kaçınarak yapmak istiyorlardı.
Russell, bu problemi çözmek için “türler kuramı” (type theory) adı verilen bir sistem geliştirdi. Bu sistemde, her matematiksel varlık, bir tür hiyerarşisi içinde belirli bir türe atanır. Böylece, herhangi bir türdeki nesneler yalnızca kendisinden daha alt seviyedeki türlerden oluşur. Bu yaklaşım, mantıksal döngülerin oluşmasını önler.
1 Artı 1 Neden 2 Yapar?
Russell ve Whitehead, Principia üzerinde yaklaşık on yıl çalıştı. Çalışmayı hızlandırmak için Russell ve eşi Alys, Whitehead ailesinin yanına taşındı. Ancak bu süre zarfında Russell, Whitehead’in genç eşi Evelyn’e ilgi duymaya başladı ve bu durum evliliğini olumsuz etkiledi.
Sonunda Whitehead, çalışma tamamlanmasa da yayımlanması gerektiğini savunacaktı. Ancak hiçbir ticari yayınevi projeye ilgi göstermemişti. Bu yüzden kitabı kendi imkanlarıyla bastırmak zorunda kaldılar.
Bugün bu eser, Aristoteles’in Organon’undan bu yana mantık alanındaki en önemli ve etkili çalışmalardan biri olarak kabul edilmektedir. Principia Mathematica’nın ne kadar kapsamlı ve detaylı bir çalışma olduğunu anlamak için, yalnızca 1 + 1 = 2 sonucunun ispatının 360 sayfadan fazla sürdüğünü bilmek yeterlidir.
Elbette bu kitap, popüler bilim kitaplarına hiç benzemez. Büyük ölçüde sembolik bir dille yazılmıştır ve kullanılan sembollerin bazıları günümüzde artık terk edilmiştir. Kitabın 360. sayfasında, 54.43 numaralı maddede, 1 + 1 = 2 ifadesinin mantıksal ispatı yer almaktadır.
İkili Ölümsüz Bir Eser Yaratsa da Çabaları Sonuçsuz Kalacaktı
Russell ve Whitehead, Principia Mathematica ile dünya çapında ün kazandı. Bu eserin ardından yalnızca felsefeciler değil, matematikçiler ve mantıkçılar da büyük bir ilgiyle konuyla ilgilenmeye başladı. Sonuç olarak, matematiksel mantık alanı kısa sürede önemli ilerlemeler kaydetti.
Ancak 1931 yılında, bir Alman bilim dergisinde yayımlanan kısa ama sarsıcı bir makale bu ilerlemeye yeni bir yön verdi. Yazının başlığı şuydu: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Principia Mathematica ve Benzeri Sistemlerde Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeler Üzerine). Yazarı ise Viyana Üniversitesi’nden yalnızca 25 yaşında bir genç bilim insanı Kurt Gödel idi.
Gödel’in 1931’de ortaya koyduğu eksiklik teoremi, Principia Mathematica’nın hem tutarlı hem de eksiksiz olamayacağını kesin biçimde gösterdi. Bu bulgu, matematikte ve mantıkta devrim niteliğindeydi; çünkü her şeyi temel mantıkla açıklama çabasının doğal bir sınırı olduğunu ortaya koyuyordu.
Bertrand Russell, 1949 yılında Liyakat Nişanı ile onurlandırıldı, ertesi yıl ise Nobel Edebiyat Ödülü’nü kazandı. Yaşamı boyunca akademi dışındaki çevrelerde de ün kazandı. Özellikle felsefi katkıları ve aktif siyasal-sosyal duruşuyla adından sıkça söz ettirdi. Hayatının sonuna dek düşünsel üretimini sürdürdü. 97 yaşında, sevdiği topraklar olan Galler’de, grip nedeniyle yaşamını yitirdi.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The 360-Page Proof That 1+1=2. yayınlanma tarihi: Bağlantı: https://www.youtube.com/
- Principia Mathematica 1+1=2; Bağlantı: https://www.storyofmathematics.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
