Okullarda devirli ondalık sayıların öğretildiği ilk öğretim sıralarında öğrencileri oldukça şaşırtan bir sonuç vardır. Bu sonuç 0.99999…=1 biçimindedir. Kabul edelim ilk başta gördüğümüz zaman pek mantıklı gelmez. Sonucunda birbirilerine çok yakın değerler olduğunu biliriz. Ancak birbirine çok yakın olmak ile eşit olmak aynı anlama gelmemektedir.
Ancak bu noktadan itibaren öğretmenler tahtada bunun neden doğru olduğunu dair bazı açıklamalar ve bazı matematiksel işlemler yapar. Sonuçlar her seferinde de haklı olduklarını ispatlar. Bu da bizim kolaylıkla gerçekten de 0.99999…=1 yazımının doğru olduğunu düşünmemize neden olur. Öncelikle gelin bu yöntemlere bir göz atalım.
0.99999…=1 Gösterimi İle İlgili İspatlara Bakalım
0,99999… = 1 ile ilgili en basit açıklamalardan biri 1/3 = 0,33333… ile ilgilidir. Sonucunda her ikisini de 3 ile çarparsanız 3/3 = 0.99999 cevabını elde edersiniz. 3/3 açıkça 1 olduğu için 0, 99999… da bire eşit olmalıdır. Bu sonuç öğrencileri şaşırtabilse bile ne yazık ki bir ispat değildir. Hatta özünde bir mantık hatası da barındırır. Bunun temel nedeni 1/3 kesri tam olarak 0.33333…’e eşit değildir. Bu sadece işlem yapmayı kolaylaştırmak adına kullandığımız yaklaşık bir sonuçtur.
Eğer x = 0.99999…, o zaman 10x = 9.99999… ve 9x = 9 ise x = 1
Öğretmenlerinizin yaptığı olası bir başka açıklama ve en sık tekrar edileni ( kabul edeyim ben de bir zamanlar bunu derste söylemiştim) yukarıda gördüğünüz biçimdedir. Bu ispatın ardındaki hile, sayının zahmetli kısmının, yani sonsuza denk tekrar eden kısmının, basitçe çıkarma işlemiyle ortadan kaldırılmasıdır. Bu sayede geriye sorun çıkarmayacak kısım kalacak ve basit bir çözümle sonuca ulaşılacaktır.
Ancak biraz düşündüğünüz zaman burada da bir sorunu fark edeceksiniz. Sonucunda birbirinden çıkarttığımız iki ifade de sonsuza giden ifadelerdir. Ve sonsuzluk ile işlem yaptığımız her zamanda hataya düşme olasılığımız vardır. Ancak yine de bu gösterim biçimi ilgi çekici ve basit olduğu için kullanılabilir. Ancak bunun bir ispat olmadığını unutmamak önemlidir.
İşin İçine Limit Ve Sonsuz Serileri Sokarsak
Bu sorunsalı çözmenin bir başka yolu da 0,99999… ifadesinin ne olduğunu düşünmek olacaktır. Aşağıdaki görsel bu konuda size bir fikir verecektir.
Bunun devamında da gerekli ispatı yapmak için işin içine geometrik serileri sokmak gerekir. Matematikte geometrik seri art arda gelen iki terimi arasında sabit bir oran bulunan seridir. Bir yinelenen ondalık, ortak oranı 1/10’un bir üssü olan geometrik seri olarak da düşünülebilir. Bir geometrik serinin ilk n terimi toplamı ise aşağıdaki formül ile bulunur.
Buradan da 0.99999…=1 sonucuna kolaylıkla ulaşabiliriz. Çünkü yapmamız gereken tek şey ortak oranı 1/10 ve a=9 kabul edip yukardaki formülü kullanmaktır. Sonucunda cevaba ulaşırız.
Yazımızı bu noktaya kadar okuduysanız ben bunları zaten biliyordum diye düşünmüş olabilirsiniz. Kuşkusuz ki yukarıda elde ettiğimiz cevapların üçü de doğrudur. İlk ikisi sezgisel gösterim, sonuncusu da devirli ondalık sayının tanımını kullanarak yaptığımız bir gösterimdir.
Normal koşullarda bir çok kişi için bu kadar cevap yeterlidir. Ancak siz de benim gibi “Acaba ikisinin birbirine kesin olarak eşit olduğunu göstermenin bir yolu var mıdır?” diye merak ediyorsanız okumaya devam edin.
Sayının 1 olması gerektiğini söylemek, toplamı belli bir sınıra ‘yuvarlamak’ biçiminde düşünülür. Sonucunda iki sayı arasındaki fark o kadar küçük olur ki önemi kalmaz. Esasen, iki sayı birbirinden farklıdır ancak birbirine çok yakın oldukları için neredeyse aynı kabul edilirler. Birbirinden farklı olan iki şeyin neden aynı kabul edildiğini anlamak için de gerçek üstü reel sayılar ile tanışmanız gerekecektir.
Gerçek Cevap: Hipergerçek Sayılar
Hipergerçek sayılar, sonsuz ve sonsuz küçük miktarları işleyen standart olmayan gerçek sayılardır. Hipergerçek sayıların önemli bir kullanım alanı, kusurlu ondalık gösterim sistemimizde sonsuz küçük değerlerin temsil edilebileceği bir yöntem yaratmalarıdır.
Sonsuz küçükler, ölçülemeyecek kadar küçük cisimleri tarif etmek için kullanılır. Sonsuz küçüklerden yararlanmaktaki asıl amaç nicelik bakımından çok küçük olsalar da hala açı, eğim gibi belirli özelliklere sahip olmalarıdır. Ancak buraya dikkat edelim. Aynen sonsuzluk gibi sonsuz küçükler de aslında gerçek bir sayı değildir.
Uzun süre sonsuz küçükler geçerli matematiksel varlıklar olarak kabul edilmedi. Ancak daha sonra matematikçiler, hipergerçek sayı sistemi gibi sistemlerin yardımıyla sonsuz küçüklerin titizlikle ele alındığı Standart Olmayan analizi icat etti.
Şimdi, hepimizin doğru olduğunu bildiğimiz şeyi matematiksel olarak temsil edebiliriz. Sonucunda 0.99999…’un aslında 1’e eşit olmadığını hepimiz biliyoruz. Ancak iki sayı arasındaki fark o kadar küçük ki bunu önemsemiyoruz. Şimdi, 0.99999…=1’i matematiksel olarak temsil edelim. Aslında 1 ile .99999… arasındaki gerçek eşitlik gösterimi 1 – h = 0.99999… biçiminde olmalıdır. Burada kullandığımız h harfi bir hipergerçek sayıyı temsil etmektedir.
Sonuç olarak;
0.99999… hiçbir zaman tam olarak 1’e eşit olmadı. Bunun yerine, ondalık sayıların gösterimindeki bir sınırlama, iki sayının eşit olduğu yanılsamasını yarattı. Sonucunda matematikçiler mevcut matematiksel yapıyı düzenli tutmak adına hipergerçek sayılar kısmını işin içine dahil etmedi.
Sorun şu ki, gerçek dünyamızda “h” diye bir şey yok. Ya da daha doğrusu, h bize sıfır gibi görünüyor. Ancak yine de onun tamamen olmadığını söyleyemeyiz. Sayı fikrimiz, yeni kavramları (tamsayılar, ondalık sayılar, rasyoneller, gerçekler, negatifler, karmaşık sayılar…) içerecek şekilde binlerce yıl içinde gelişti.
Mevcut sistemimizde sonsuz küçük sayılara izin vermiyoruz. Sonuç olarak 0.999… = 1 çünkü aralarında boşluk olmasına izin vermiyoruz. Bu nedenle alışageldiğimiz matematiksel yapının dahilinde “0.999… 1’e eşit mi?” sorusunun cevabını evet olarak verebiliriz.
Diğer sayı sistemlerinde ( hiper gerçek sayılar gibi ), 0,999… 1’den küçüktür. Burada sonsuz küçük sayıların var olmasına izin verilir ve bu küçük fark (h), 0,999’u 1’den ayıran şeydir. Hipergerçek sayılar dikkatinizi çektiyse takipte kalın, konuyu en kısa sürede ele alacağız. Ayrıca bu yazının devamında bir yazımıza daha göz atmak isterseniz buyrun: 1 Artı 1 Neden 2 Eder? Bu Sorunun Cevabı Tam 360 Sayfa!
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Proof that .99999… is NOT equal to 1. yayınlanma tarihi: 12 Mayıs 2018; Bağlantı: https://medium.com/
- I’m Settling This Math Debate Forever (.99 repeating = 1). Yayınlanma tarihi: 17 Mayıs 2021; Bağlantı: https://www.youtube.com/
- Is ‘0.99999…’ Really Equal To ‘1’? Yayınlanma tarihi: 31 Mart 2022; Bağlantı: https://www.cantorsparadise.com/
- A Friendly Chat About Whether 0.999… = 1 Bağlantı: https://betterexplained.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
